Forum27 - Türkiye'nin En Büyük Forumu
 

Go Back   Forum27 - Türkiye'nin En Büyük Forumu > Eğitim - Öğretim > matematik - geometri

Cevapla

 

LinkBack Seçenekler Stil
  #1  
Alt 9 December 2008, 13:11
Junior Member
 
Kayıt Tarihi: 1 September 2008
Mesajlar: 0
Konular:
Aldığı Beğeni: 0 xx
Beğendiği Mesajlar: 0 xx
Standart Kemiklerimizdeki Matematik

Kemiklerimizdeki Matematik

Hayvanlar yeryüzü şartlarındaki çekim, hava basıncı,
hareketlere bağlı mekanik basınç ve gerilimlere karşı mükemmel bir şekilde
tasarlanmışlardır. Bizler bir makine icad ederken yaptığımız tasarımda en
uygun çözümü bulmak üzere optimizasyon teknikleri geliştiririz. Bir
tasarımda mümkün olduğu kadar az malzeme kullanarak, en dayanıklı yapıyı
elde etmeye çalışma bir optimizasyon problemidir. Aracınızın yakıtı ile
mümkün olduğunca fazla seyahat edebilme yine başka bir optimizasyon
problemidir.

Günlük hayatımızda farkında olmadan hep optimizasyon problemlerini çözmeye
çalışırız. Elimizdeki kısıtlı bir miktar para ile mümkün olduğunca en
kaliteli bir ayakkabıyı almaya çalışmamız, gündelik optimizasyon
problemlerinden biridir. Pazarda alışveriş yaparken mümkün olduğunca az
para harcayarak, en kaliteli meyve ve sebzeleri almaya çalışmamız,
farkında olmadan çözdüğümüz optimizasyon problemlerindendir. Bir işi en
kısa zamanda ve en iyi şekilde bitirmeye çalışmamız yine bu tip bir
problemi çözme arzumuzdan kaynaklanmaktadır. Değişik ebatlarda olabilen
silindirik yapıda konserve kutuları imal etmek istiyoruz. En az teneke
harcayarak en büyük hacimde konserve kutusu imal etme problemi matematik
olarak ifade edildiğinde ve çözüldüğünde şu sonucu elde ederiz: Konserve
kutusunun çapı ve yüksekliği birbirine eşit alınırsa en küçük alan ile en
büyük hacim kaplanmış olur.

Mühendis olarak Allah'ın verdiği akıl ve cüzî ilmimizle çözmeye
uğraştığımız optimizasyon problemlerini, Rabbimiz; sonsuz ilim ve
kudretiyle tabiatı tedbirli yaratarak halletmiştir.

Tabiatta görülen mükemmel mühendislik örnekleri aslında çok karmaşık
optimizasyon problemlerinin varlığına ve çözüldüğüne işaret etmektedir.
Canlı yapılarında, canlı hareketlerinde ve canlı davranışlarında hep
optimizasyon problemlerinin varlığı ve en iyi şekilde çözüldüğü, bilim
adamlarının yaptıkları matematik modeller ve deneylerle gösterilmiştir.
Canlı kemiklerinin minimum ağırlıkla maksimum dayanıklılığı temin etmesi
bu optimizasyon problemlerinden bir tanesidir.

Memelilerin kemikleri içi boş boru şeklindedir. Bu şekil, içi dolu
silindirik yapıya göre daha dayanıklıdır. Kemiklerin içinde ise ilik
bulunmaktadır. Kemikler sürekli ivmeli harekete maruz kaldıkları için
dayanıklılıkla birlikte hafif olmaları da çok önemlidir? Şimdi bu
optimizasyon problemini kurup çözümünü araştıralım: Şekil l'de dış
yarıçapı r, iç yarıçapı ise k.r olan bir kemiğin kesit alanı
gösterilmiştir. k katsayısı iç yarıçapın dış yarıçapa oranını temsil
etmektedir ve tanımdan da anlaşılabileceği gibi sıfır ile bir arasında bir
değerdir. Maksadımız k'nın hangi değeri için, kemik hafifliğinin en iyi
(optimum) olacağını bulmaktır.
Verilen bir eğilme momenti için kesit yarıçapı ile dayanıklılık arasındaki
münasebet aşağıdaki gibidir
r= [M/K(1-k)4]1/3

Yukarıda M, uygulanan eğilme momentini, K ise; dayanıklılıkla ilgili bir
katsayıyı temsil etmektedir. Kesit alandaki kemik dokusuna ait dış kısmın
kesit alanı;

pr2- k2r2 = pr2 (1-k2), olur. Eğer kemiğin yoğunluğu r ise birim uzunluk
için kütlesi,

M1=pr2r (1-k2) veya r için önceki ifadeyi yerleştirirsek, m1= pr (1-k2) [M/K(1-k)4]2/3 elde edilir. Kemik içindeki iliğin kesit
alanı ise pk2r2'dir. İliğin yoğunluğu ise; kemiğinkinin yaklaşık yarısı
kadardır. Böylece birim uzunluktaki ilik kütlesi aşağıdaki gibidir:
m2 = (1/2) pr2k2r veya

m2= (1/2) pk2r ( [M/K(1-k)4]2/3

Toplam kütle her iki kütlenin eklenmesi ile bulunur.

m=m1+m2= pr (1-k2/2) [M/K(1-k)4]2/3

Bu kütleyi minumum yapacak k değerini bulmak için ifade k'ya göre
türevlenir ve sıfıra eşitlenir. Bu işlemin sonucunda k=0,63 değeri
bulunur. Her ne kadar bu değer minimum kütleye karşılık gelen
içyarıçap/dışyarıçap değeri ise de, k=0,4 ile 0,7 değerleri arasında kütle
hemen hemen bu optimum değere yakındır. Tablo l'de değişik hayvanların
kemikleri için k değerleri verilmiştir. Bu değerler matematik hesaplamalar
ile mükemmel bir uyum gösterip 0,4-0,7 aralığında kalmaktadırlar.
Kuşların kemikleri ise uçabilmeleri için daha da hafif olmalıdır. Bunun
için kara hayvanlarındaki ilik birçok kuşta olmayıp iliğin yerini hava
almıştır. Acaba ilik yerine hava olduğunda optimum k değeri ne olabilir?
Bu durum için sadece m1 ifadesi kütleyi verecektir. Bu ifadeye
baktığımızda kütleyi azaltmak için k değerini mümkün olduğunca artırmamız
gerektiği sonucuna varırız. Ancak k, 1 değerine yakın olduğunda cidar çok
incelir ve kemik, eğilmeden ziyade burkulma etkisi ile kırılabilir.
Dolayısı ile optimum tasarımda; hem eğilme hem de burkulmanın bir arada
incelenmesi gerekir. Eğilme ve burkulma için k değerlerine karşılık gelen
birim uzunluktaki kütle eğrileri mukavemet prensipleri kullanılarak hem
burkulma, hem de eğilme için çizilmiştir (Şekil 2). İki eğrinin kesiştiği
nokta optimum noktadır ve k=0,93 değerine karşılık gelmektedir. Elde
edilen en önemli sonuç kuşlarda kara hayvanlarına göre k değerinin daha
yüksek olması gerektiğidir. Kuğu kuşlarında k=0,9 olarak ölçülmüştür.
Aradaki küçük fark teoriye ait burkulma ve eğilmedeki basitleştirici bazı
önkabullerden kaynaklanmaktadır. Ayrıca kuğu kuşlarında burkulmayı
önleyici iç payandalar da mevcuttur.

Kemik tasarımında diğer önemli bir özellik ise kemiğin kesit alanının
uzunluk boyunca değişim göstermesidir. Bunun sebebi şöyle açıklanabilir:
Şekil 3a'da bir çubuğa F kuvveti uçtan etki etmektedir. Bu kuvvetin x
kadar uzaklıktaki kesitte oluşturduğu eğilme momenti, F.x olacaktır. Yani
uzaklık arttıkça eğilme momenti doğrusal olarak artmaktadır. Sıçrayan bir
köpek ve kaval kemiğine ayak tarafındaki uçtan etki eden bir F kuvveti
benzer şekilde eğilme momentlerine yol açar (Şekil 3b). Bu eğilme momenti
ekleme doğru artacaktır. Dolayısı ile kemiğin kesitinin artan eğilme
momentini karşılayacak şekilde artması gerekir. Mukavemette G=M/S
ifadesinde G gerilmeyi, M eğilme momentini, S ise; kesit modülü olarak
adlandırılan ve kesit alanla ilgili bir çokluğu belirtir. Optimum
mukavemet için G değerinin uzunluk boyunca değişmemesi gerekir. Moment
uzunlukla orantılı olarak büyüdüğüne göre kesit modülünün de uzunlukla
doğrusal olarak arttırılması gerekir. 17 cm uzunluğundaki bir köpek kaval
kemiği için, uçtan ekleme doğru uzunluk boyunca kesit modülü Şekil 4'de
gösterilmiştir. Tahmin edildiği gibi uzunlukla doğru orantılı ve düzgün
olarak değişen bir kesit modülü ölçülmüştür.

Canlıların kemik tasarımları mükemmel inşa edilmemiş olsa idi, ya
ağırlığın fazlalığından dolayı hareket zorlaşacak, yahut yeterli mukavemet
olmadığından kemikler kolayca kırılarak canlının hayatını devam
ettirebilmesi zorlaşacaktı. Matematik modellerden de görülebileceği gibi,
sonsuz ihtimal arasından hep en iyi sonucu verecek tasarım ölçülerini
bulmamız, bu ölçü ve hesapların tesadüf ile izahı mümkün olmayan bir kast
ve irade ile seçildiğini, Sonsuz bir İlim ve Kudret'in eseri olduğunu
apaçık göstermektedir.
Alıntı ile Cevapla
Cevapla

Seçenekler
Stil



Saat: 02:15


Telif Hakları vBulletin® v3.8.9 Copyright ©2000 - 2019, ve
Jelsoft Enterprises Ltd.'e Aittir.
Tipobet forum Kameralı Sohbet Sevgi forumu Kadınca Forum Mutlu Forum forumcu forum kadinca forum dernek forum forum ankara forum aktuel webmaster forum istanbul escort istanbul escort Betvole tipobet365

Search Engine Friendly URLs by vBSEO 3.6.0 PL2